UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
DeFEM - Departamento de Física, Estatística e Matemática  
Professor Regente: Pedro Augusto Pereira Borges

A MODELAGEM MATEMÁTICA NA CONSTRUÇÃO DE 
TELHADOS COM DIFERENTES TIPOS DE TELHAS

Acadêmicas do Curso de Matemática - Licenciatura
Angéli Cervi - agelicervi@detec.unijui.tche.br
Rosane Bins -  rosane.bins@detec.unijui.tche.br
Taila Deckert - taila.deckert@detec.unijui.tche.br

1. Introdução

             A Matemática é uma ciência onde se trabalha muito com abstração. Com a modelagem matemática, podemos aplicar muitos dos conhecimentos de Matemática adquiridos até o atual estágio do curso, em situações práticas vividas no dia-a-dia.

            A modelagem matemática é um método de investigação que utiliza a associação das estruturas matemáticas às variáveis e parâmetros de problemas dos quais necessita-se conhecer soluções com relativa precisão.

            Esses procedimentos de investigação da modelagem matemática podem, também, servir como uma possibilidade metodológica para o ensino de matemática, porém é necessário ter o cuidado para que isso não seja apenas uma atividade que procure firmar conceitos matemáticos, mas sim, que leve o aluno a aprender e a fazer modelos e também adquirir conhecimentos matemáticos.

            O tema escolhido para este estudo, foi à construção civil, que está presente no nosso cotidiano, e demanda de muitos cálculos, quer seja nos projetos estruturais, arquitetônicos, elétricos e hidráulicos, bem como nas previsões de quantidades de materiais e seus respectivos custos.

            Ao iniciarmos nossa pesquisa, vimos que o assunto é muito amplo e complexo, por isso decidimos pesquisar alguns aspectos sobre a construção do telhado, mais especificamente, as tesouras (treliças isostáticas) que servem para a sustentação da cobertura. Suas barras são dispostas de maneira a compor uma rede de triângulos, tornando o sistema estrutural indeslocável.

            O modelo de tesoura que mais se emprega no Brasil, para estruturas de madeira dos telhados residenciais é a tesoura inglesa ou howe, conforme vemos na figura 1. Esse modelo é indicado para casas de até 18,00 metros de vão, sendo que para casas com largura entre 10 e 18 metros, faz-se necessário confeccionar as tesouras com peças duplas. Além desta dimensão de vão, a estrutura passa a ser onerosa e alta, razão pela qual deve-se optar por outros modelos de estruturas.

 

              Figura 1 – modelo de tesoura inglesa ou howe

                A superfície de telhado pode ser formada por um ou mais planos (uma água, duas águas, quatro águas ou múltiplas águas) ou por uma ou mais superfície curvas (arco, cúpula ou arcos múltiplos).

            A cobertura pode ser de telhas cerâmicas, telhas de concreto (planas ou capa e canal) ou de chapas onduladas de cimento-amianto, aço zincado, madeira aluminizada, PVC e fiber-glass. As telhas de ardósia e chapas de cobre, foram praticamente banidas da nossa arquitetura. A figura 2 mostra alguns modelos mais comuns de telhas cerâmicas.  

  Figura 2: telhas: francesa, colonial paulista, americana e romana respectivamente.

            O ponto do telhado é a relação entre sua altura e a largura ou vão, que varia entre os limites de 1/2 a 1/8, ou seja, de 100% a 25% de declividade. De acordo com o tipo de telhas empregado, faz-se necessário adequar o grau de inclinação do telhado.

            As coberturas executadas em chapas onduladas de cimento-amianto, apresentam vantagem econômica, pois necessitam de menor inclinação do telhado, além de dispensar o emprego de ripas e caibros, pois apóiam-se diretamente sobre as terças, permitindo ainda maior distanciamento entre as terças.

Os modelos matemáticos deste trabalho foram baseados em um telhado plano em duas águas, para casas de 6 a 10 metros de largura, com a utilização de telhas cerâmicas (francesa e colonial paulista) e chapas onduladas de cimento-amianto, e como já havíamos dito anteriormente, iremos nos ater apenas aos cálculos relativos às tesouras.

2. Descrição do Problema

            Com os modelos matemáticos que iremos desenvolver a seguir, procuramos saber qual a quantidade de madeira e o respectivo custo para a construção de uma tesoura simples, utilizada em casas residenciais, cuja largura varia de 6 a 10 metros.

 
Figura 3 – tesoura howe, com a simbologia utilizada no cálculo de sua altura.  

3. Resolução do Problema

            Em primeiro lugar, criamos um modelo de cálculo da altura da tesoura (H) em função da inclinação do telhado (I) e da largura da casa, já acrescida do beiral (L). Lembramos que a inclinação desejada varia de acordo com o tipo de telha a utilizar.

 

                    altura            largura (base)

                    I                          1
                   H                          a

            Aplicando a regra de três:

                        H . 1 = I . a
                        H = I . a                                                                                                                   (1)

onde:

                        a = largura dividida por 2, ou seja: L/2

                        I = inclinação do telhado (em decimais)

                        H = altura da tesoura

            Em seguida, criamos um modelo para cálculo do ângulo de inclinação do telhado (   )

                        

Figura 4 – cálculo do ângulo de inclinação

 

            Aplicando noções de trigonometria, temos:

                                  onde H = I . a

                                     

                                                 

            O próximo passo é a criação de um modelo de cálculo do comprimento do banzo superior (B) da tesoura.

 

                          
                Figura 5 – cálculo do Banzo superior

                                                                                                                           (3)
                onde:
                B = comprimento do banzo superior  
  Feito isso, passamos a calcular o comprimento das verticais e diagonais da tesoura, procedendo da seguinte forma: 

        
                                                  
                       Figura 6 – parte da tesoura, com a simbologia utilizada nos cálculos.  

                                                                                                                                 (4)

            A seguir, apresentamos um modelo de cálculo de um vão entre as verticais da tesoura somado à largura das verticais anterior e posterior ao vão (P₁):

                         

                       
Passamos, agora, ao modelo do cálculo da altura da primeira vertical (v
_{1),com a utilização de conceitos de trigonometria:}

                       
                   
                                                                                                                      <sub>(5)            
Para que possamos calcular a segunda vertical, procuramos primeiramente, um modelo de cálculo da largura do vão somada à largura da guia (P1 já encontrado), agora, multiplicado por 2 (P1):                                      
                            
                         
                      
                     
                                                         
                                                                                                                                 (6)
          
Modelo de cálculo da altura da segunda vertical (v2), também aplicando conceitos trigonométricos:                                 
                        
                       
                                                                                                                         (7)  
Na seqüência, criamos um modelo de cálculo da primeira diagonal (d1) em relação à altura da primeira vertical (v1) e à largura do vão entre as verticais (P1). Aplicamos, neste caso, novamente o Teorema de Pitágoras                             
                           

                          
                         
                                                                                                                                                          (8)          
Necessitamos, ainda, de um modelo de cálculo para a segunda diagonal (d2), em relação à altura da segunda vertical (v2) e à largura do vão entre as verticais (P1), também pelo Teorema de Pitágoras: 
                                                                                                                              (9)</sub>

            Enfim, para calcular a metragem total de madeira (M) necessária para a construção de uma tesoura, basta somar a base com a altura, o banzo superior, as verticais e as diagonais encontradas anteriormente:

                
M = H + 2(a + B + v₁ + v₂ + d₁ + d₂)                                                                                             ₍₁₀₎

            Tentaremos, agora, resumir um pouco mais as fórmulas encontradas, em um novo modelo matemático que engloba todos os outros já citados.

                     

_onde:

                      = inclinação (em decimais);

                              ^{, sendo que L = largura da casa acrescida do beiral.}

                   ^{= largura da guia;}

                       
                        

                       
                       

            Multiplicando-se a metragem encontrada pelo preço do metro de guia (R), obteremos o Custo da Madeira de uma tesoura (C).

                        C = M . R                                                                      (11)

Para facilitar na simulação do modelo matemático, a partir de dados numéricos, permitindo comparativos entre alguns tipos de telhas empregados nas construções residenciais, e suas respectivas variações de inclinação, utilizamos o aplicativo MATLAB, e para isso, criamos um organograma que apresentamos a seguir:

Figura 7 – Organograma para cálculo do modelo no aplicativo MATLAB. 

            Com o auxílio desse programa, fizemos, então, algumas simulações. Quanto à inclinação ideal para cada tipo de telha, vimos que existem muitas discrepâncias, especialmente nos dados fornecidos por fabricantes de telhas. Optamos em considerar em nossos cálculos, a inclinação mínima sugerida por Moliterno (1999), e apresentamos, a seguir, alguns dados obtidos.
Tabela 1 – Comparativo dos valores quanto ao tipo de telha

Largura da Casa	6m		8m		10m
Tipo de Telha	Metragem	Custo	Metragem	Custo	Metragem	Custo
Colonial	21,47	69,36	28,40	91,73	35,32	114,10
Francesa	22,87	73,86	30,24	97,67	37,61	121,49
Cimento Amianto	19,59	63,27	25,91	83,69	32,23 C	104,11

O gráfico abaixo, nos fornece uma visão de que o tipo de telha e a conseqüente inclinação do telhado têm influência no custo de fabricação de uma tesoura, e que as telhas de cimento-amianto apresentam vantagem econômica, pois necessitam de menor inclinação.

 Gráfico 1 –comparativo dos valores quanto ao tipo de telha.

            Simulamos, ainda, o comportamento do custo em relação às inclinações dos telhados, e, conforme gráfico abaixo, vimos que essa variação é praticamente linear.

             Gráfico 2 – custo de uma tesoura para casa com 10m de largura e sua variação quanto à inclinação do telhado.

4 – Conclusão

           Os modelos matemáticos foram criados de tal forma que, com exceção das diagonais da tesoura (d₁ e d2), as partes possam ser calculadas com os dados iniciais referentes ao comprimento da tesoura (a), a inclinação desejada (I) e a largura das guias ( ). Já no programa que fizemos utilizando o MATLAB, usamos uma seqüência, onde cada fórmula utiliza resultados da anterior, para simplificar a digitação.

            Para que os cálculos com utilização dos modelos resultassem em uma aproximação confiável, consideramos nas medições sempre o lado extremo da peça a ser calculada, considerando, inclusive, que as peças poderão ficar sobrepostas ao serem pregadas umas às outras, como podemos ver na figura 6.

            Pelos resultados obtidos, podemos observar que a inclinação do telhado implica na quantidade de madeira a ser utilizada para a construção das tesouras, bem como respectivo custo. Cada tipo de telha a ser escolhido, em função de sua característica, tem uma recomendação específica no que diz respeito à declividade da estrutura.

            Esse trabalho foi de grande proveito para nós, pois nos deu uma idéia de como podemos explorar a aplicabilidade da matemática nas situações do dia-a-dia. Foi fascinante ver como, através de um tema comum como a construção civil, e ainda mais, utilizando apenas uma pequena parte da casa, que é a tesoura do telhado, podemos utilizar vários conhecimentos matemáticos, como regra de três, teorema de Pitágoras, radiciação, trigonometria, geometria, e outros mais. Por outro lado, tivemos a oportunidade de explorar um pouco mais os recursos tecnológicos que temos, como por exemplo, os softwares Matlab e Excel.

            A partir dessa experiência, temos mais uma ferramenta que pode ser utilizada como estratégia de ensino, pois ela leva em conta os interesses e necessidades práticas da comunidade, e pode ser um caminho para despertar nos alunos o interesse por tópicos matemáticos que ainda desconhecem, além de aprenderem à arte de modelar, matematicamente. Esse método conduz, também, a um trabalho de natureza interdisciplinar, o qual requer diálogo constante com outras áreas do conhecimento.

            Entendemos que existe um campo muito amplo para ser explorado em relação a esse assunto. Seria importante podermos dar continuidade neste trabalho em outros momentos, onde poderíamos desenvolver outros modelos matemáticos que fossem úteis nas demais etapas da construção civil. Outros pesquisadores poderão, também, se aprofundar mais, descobrindo novos modelos mais precisos para apuração dos valores.

5 – Referências Bibliográficas

BARBOSA, Jonêi Cerqeira. O que pensam os professores sobre a Modelagem Matemática? Zetetiké – CEMPEM – FE/UNICAMP. v.7, n. 11. Jan/Jun, 1999.

BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem Matemática e Implicação no Ensino e Aprendizagem de Matemática. Blumenau: FURB, 1999.134p.

MOLITERNO, Antonio. Caderno de projetos de telhados em estruturas de madeira. São Paulo: Edgard Blücher, 2 ed., 1999. 461p.