SEGURO DE VIDA E O AJUSTE DE CURVAS

Fabiana Grenzel Becker
Fernanda Gonzaga Kern

1. Introdução

            No Brasil, mais precisamente no Rio de Janeiro, em 1855 surgiu a primeira Companhia de Seguros denominada Tranqüilidade. Em 1916 o Código Civil regulamentou todos os seguros, inclusive o seguro de vida. O seguro de vida busca indenizar os beneficiários com um capital estipulado em apólice. Neste caso, conforme a idade do segurado vai aumentando, o capital segurado, ou seja, o valor da indenização vai diminuindo.
            Em outra oportunidade, desenvolvemos a proposta de encontrar o algoritmo de cálculo do prêmio total a ser pago para um seguro residencial de uso habitual. Dando seqüência a este estudo, mas enfocando o seguro de vida, desenvolvemos uma pesquisa sob outro ponto de vista, ou seja, deixamos de nos preocupar com o algoritmo utilizado pela companhia e passamos a levantar algumas hipóteses a partir de dados fornecidos por uma Companhia Seguradora, que denominamos CS (razão social fictícia), e adaptamos estes dados, a fim de realizar análise e ajuste de curvas procurando definir a melhor função.
            Sendo uma companhia que trabalha com faixas etárias, primeiramente foi construído o gráfico e a equação que representa a situação no real, logo após temos seqüência ao trabalho, passando a analisar e interpretar situações que surgiram através dos dados iniciais.
            Sendo assim, este trabalho não se detém no estudo mais aprofundado sobre o Seguro de Vida, mas sim, o utiliza como um tema gerador, abrindo caminhos para um reconhecimento do tipo de curvas, surgindo talvez, a partir do seu ajuste.

2. Descrição do Problema

            A partir de dados fornecidos pela (CS), procuramos analisar as diferenças entre possibilidades matemáticas e situações reais. Para tal, foi necessário que construíssemos conjecturas matemáticas e adaptássemos os dados fornecidos pela CS, para uma situação que permitisse a análise do ajuste de curvas.

3. Resolução do Problema

            Na tabela 1 constam os dados fornecidos pela CS, sendo que serviram de base para as análises subseqüentes. Ainda, para este estudo foi empregado, somente, 1 módulo para cada faixa etária, pois os demais módulos são múltiplos do primeiro.
Tabela 1 – Tabela de Capitais Segurados conforme a faixa etária

            Tomando 1 módulo referente a cada faixa etária, foi construído o gráfico 1, que representa o capital segurado em função da faixa etária para este módulo:

Figura 1 – Representação do capital segurado em função da faixa etária

            A partir deste gráfico que mostra como se comporta a função no real, e tendo a clareza de que estes pontos não são contínuos, podemos definir a equação que representa esta situação como:

(01)

             Como a CS trabalha com faixa etária, a representação gráfica se dá na forma de escada, sendo que o capital segurado diminui a medida em que a idade vai avançando.
            Tomando a idade mínima para cada faixa etária e seu respectivo capital segurado, supomos que estes pontos fossem contínuos e buscamos, então, definir a melhor função. Utilizando os pontos, P1 (16, 25.500), P2(25, 23.500), P3(30, 20.500), P4(35, 15.000), P5(40, 10.000), P6(45, 6.500), P7(50, 4.000), P8(55, 2.500) iniciamos verificando a linearidade da função.
            Sabendo que para ser uma função linear é necessário que o coeficiente angular a cada intervalo de pontos seja o mesmo, calculamos o coeficiente angular nos intervalos entre P1 e P8. Como segue a tabela 2:

Tabela2 – Determinação do Coeficiente. Angular

            Tendo os coeficientes angulares diferentes, logo a função não é linear. Dando continuidade, verificamos se a função se caracteriza como exponencial.
            Partindo de uma equação exponencial genérica, dada por:

y=ae^bx

(02)

             Substituindo na equação (01) os intervalos de P1 à P8 obtendo a tabela 3 com os coeficientes e suas referidas equações para cada intervalo.

Tabela 3 – Equações Exponenciais

            Como as equações encontradas nos intervalos não são iguais, a função não é exponencial. Desse modo, consideramos sendo uma equação polinomial, utilizando os pontos de P1 até P8, podemos escrevê–la na sua forma genérica:
            Substituindo os pontos na equação (03), obtém – se um sistema linear na forma:

(03)

            Aplicando A^-1 em ambos os lados da equação (04) obtém –se:

(04)

(05)

            Obtemos a equação polinomial:

y = 878688,0470 - 176350,8686 x +14842,58885 x²- 661,8242531 x³ + 16,95745021 x⁴ - 0,2514689952 x⁵ + 0,002009563468 x⁶ - 0,6700821910 10^-5x⁷

(06)

            Na tabela 4, é possível comparar os capitais segurados fornecidos pela CS e também, pela equação 06:

Tabela 4 – Tabela Comparativa

               Fonte: As duas primeiras colunas da tabela foram fornecidas pela CS e a terceira através da função polinomial da CS.

            Podemos visualizar também esta comparação, através do gráfico 2:

Figura 2 – Gráfico comparativo

            Através deste gráfico e da tabela 4 observamos que a equação polinomial se caracteriza como sendo a que melhor representa o capital segurado em função da idade, se estes fossem contínuos.

4. Conclusão

            Esta pesquisa ocorreu de forma distinta da primeira proposta de modelagem matemática, pois agora foram realizadas conjecturas em cima de dados fornecidos pela CS e a estas, se fez necessário que procurássemos verificar, através de cálculos e comparações, a função mais adequada à situação.
            Ainda, pelos métodos utilizados para a verificação da função adequada, concluímos que a função polinomial é a que mais se adapta a representação do capital segurado em função da idade, uma vez que, comparando os dados fornecidos pela CS e a função obtida através dos cálculos realizados no software Maple, podemos verificar que a mesma foi validada, pois os valores coincidem com os dados iniciais.
            Este estudo pode vir a contribuir no desenvolvido do ensino de funções e suas restrições, bem como, o estudo do ajuste de curvas, interpretação gráfica e matrizes.
            A pesquisa, em um primeiro momento, sempre causa receio, mas quando vamos desenvolvendo-a, passa a ser vista com entusiasmo e curiosidade em desvendar o que foi proposto inicialmente.

5. Referências Bibliográficas

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e aplicações: Ensino Médio. Volume único. São Paulo: Ática, 2001. 615p.
HISTÓRIA DO SEGURO. Disponível em: http://www.npv-seguros.com.br/historia/historia.html. Acesso em: 28 jan. 2005.
HISTÓRIA DO SEGURO. Disponível em: http://www.noroeste.com.br/historia.html. Acesso em: 28 jan. 2005.