UNIJUÍ - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
DeFEM - Departamento de Física, Estatística e Matemática
Modelagem Matemática II - Prof. Pedro Augusto Borges
A Produção de Lixo como uma Possibilidade de Modelagem para o Ensino Médio
Alunas:
Marta Cristina Cezar Pozzobon
Maria Rosane Antonello Cargnelutti
nbsp;Taciana Meggiolaro Leonarczyk
Sirlei Fim
Ijuí, 2003.
Introdução
Na disciplina de Modelagem Matemática I, realizamos um trabalho sobre a produção de lixo doméstico em Ijuí. Para isso, partimos de alguns dados coletados na Prefeitura de Ijuí e na empresa que faz a coleta do lixo, a PRT (Prestadora de Serviços de limpeza). Devido as dificuldades de conseguirmos os dados referentes a produção de lixo, resolvemos buscar alguns referenciais teóricos, que explicitassem melhor os dados sobre o lixo doméstico. Descobrimos naquele trabalho, que a população de Ijuí produz em média 580 gramas de lixo por pessoa ao dia
A partir da realização daquele trabalho, ao começarmos a disciplina de Modelagem II, resolvemos continuar com o mesmo assunto – a produção de lixo. Mas, agora, refletindo sobre a Modelagem Matemática, como uma metodologia a ser usada com o Ensino Médio. Partindo do assunto, resolvemos que o primeiro problema que pretendíamos resolver seria sobre a produção de lixo de uma pessoa em um ano. Para isso, partimos de alguns dados coletados na pesquisa empírica sobre a produção de lixo mensal de uma pessoa. Os dados referentes a cada mês, originaram-se dos referenciais que tínhamos nas leituras sobre o aumento da produção de lixo de acordo com a época do ano que consideramos.
Os dados foram organizados em uma tabela, considerando o lixo acumulado em cada mês. Isso nos levou a determinarmos a taxa mensal de lixo, que vai nos fornecer o coeficiente angular da função linear,
src="lixo1.gif" width=59 v:shapes="_x0000_i1025">Logo adiante, montamos o gráfico da função.
Organizamos uma tabela com dados fictícios da produção de lixo mensal de uma pessoa, considerando a produção proporcionalmente crescente.
Na segunda parte do trabalho, trazemos o problema dois, que se refere ao volume de uma lata de lixo, necessária para acumular o lixo diário da cidade de Ijuí. Para resolvermos o problema, partimos de uma lata de lixo doméstico, de forma cilíndrica. A partir da quantidade de massa de lixo de uma lixeira, descobrimos o volume e a densidade do lixo. Partindo dos dados sobre a produção de lixo da população de Ijuí, trazemos o volume de lixo produzido pela população de Ijuí (78.000 habitantes). Diante disso, organizamos uma função inversamente proporcional da altura em função do raio do cilindro, para descobrirmos o tamanho de uma lixeira para colocarmos o lixo da população de Ijuí produzido em um dia.
Na última parte do trabalho, trazemos as considerações finais, que representam as nossas reflexões em relação ao trabalho de Modelagem Matemática II, que trazemos neste texto.
Problema 1: Qual a quantidade de lixo produzido por uma pessoa em um intervalo de tempo de um ano?
Produção de lixo mensal de uma pessoa|
ESES |
QUANTIDADE DE LIXO (kg) |
|
Janeiro |
20,40 |
|
Fevereiro |
18,25 |
|
Março |
16,87 |
|
Abril |
15,72 |
|
Maio |
17,32 |
|
Junho |
16,55 |
|
Julho |
14,62 |
|
Agosto |
13,54 |
|
Setembro |
14,65 |
|
Outubro |
15,72 |
|
Novembro |
16,85 |
|
Dezembro |
17,45 |
|
Total |
197,94 |
A partir dos dados acima, podemos determinar a média de lixo de um ano.
A partir da média mensal de lixo de uma pessoa, iremos descobrir a taxa de lixo produzido pela mesma, no período de 12 meses. Para isso, montaremos a função em que a quantidade acumulada de lixo depende do tempo.
Q= quantidade de lixo
= quantidade de lixo acumulado
t= tempo em meses
= taxa de produção de lixo
Montaremos a tabela do lixo acumulado em cada mês/ per capta.
A partir dos dados acima, podemos determinar a média de lixo de um ano.
A partir da média mensal de lixo de uma pessoa, iremos descobrir a taxa de lixo produzido pela mesma, no período de 12 meses. Para isso, montaremos a função em que a quantidade acumulada de lixo depende do tempo.
Q= quantidade de lixo
= quantidade de lixo acumulado
t= tempo em meses
= taxa de produção de lixo
Montaremos
a tabela do lixo acumulado em cada mês/ per capta.
| MESES | LIXO ACUMULADO (kg) |
| Janeiro | 20,40 |
| Fevereiro | 38,65 |
| Março | 55,52 |
| Abril | 71,24 |
| Maio | 88,56 |
| Junho | 105,11 |
| Julho | 119,73 |
| Agosto | 133,27 |
| Setembro | 147,93 |
| Outubro | 163,64 |
| Novembro | 180,49 |
| Dezembro | 197,94 |
Diante disso, chegamos aos valores do lixo acumulado em cada mês e podemos determinar a taxa mensal.
| t=1 | t=2 | t=3 | t=4 | t=5 | t=6 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
t=7 |
t=8 | t=9 | t=10 | t=11 | t=12 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
A partir da tabela anterior e das taxas acima, resolveremos a
função.
| t |  |
meses |
| 1 |  |
20,40 |
| 2 |  |
38,65 |
| 3 |  |
55,3 |
| 4 |  |
75,24 |
| 5 |  |
88,55 |
| 6 |  |
105,11 |
| 7 |  |
119,7 |
| 8 |  |
133,2 |
| 9 |  |
147,87 |
| 10 |  |
163,6 |
| 11 |  |
180,4 |
| 13 |  |
197,94 |
Montando
o gráfico, teremos
Podemos
observar na função acima, que a taxa de variação mensal (
) ou a taxa de crescimento da função determina o ângulo
entre a reta e os eixos, ou seja, é o coeficiente angular. Considerando os
valores de 
, percebemos que quanto maior for o
, maior o ângulo e quanto menor o 
, o ângulo será menor.
|
t (meses) |
Q |
| 1 | 20,40 |
| 2 | 20,50 |
| 3 | 20,60 |
| 4 | 20,70 |
| 5 | 20,80 |
| 6 | 20,90 |
| 7 | 21,00 |
| 8 | 21,10 |
| 9 | 21,20 |
| 10 | 21,30 |
| 11 | 21,40 |
| 12 | 21,50 |
| Total | 251,40 |
Observando a tabela, montaremos o gráfico da produção de lixo de uma pessoa no período de um ano.
Problema 2:
Qual o volume de uma lata de lixo,
necessário para armazenar o lixo diário da cidade de Ijuí?
a)A partir de
uma lata de lixo com o formato de um cilindro, com a capacidade de armazenar 5
kg de lixo (5000g), descobrimos a densidade do lixo.
b) Descobrindo a densidade do lixo, podemos calcular o volume total do lixo de Ijuí em um dia.
c) Para descobrirmos a altura do cilindro, podemos usar o volume total do lixo e a superfície da base do cilindro. Obteremos uma função em que o raio (r) é independente e a altura (h) é dependente. Neste caso, r≠0.
d)Atribuindo alguns valores para o raio, teremos a altura do cilindro.
|
raio (m) |
|
altura (m) |
|
0,5 |
|
7238,39 |
|
1 |
|
1809,59 |
|
2 |
|
452,39 |
|
3 |
|
201,066 |
|
4 |
|
113,099 |
|
5 |
|
72,39 |
|
10 |
|
18,09 |
|
100 |
|
0,18 |
|
1000 |
|
0,0018 |
Construindo o gráfico, podemos observar que quanto maior o raio, menor a altura do cilindro. E quanto menor o raio, maior a altura do cilindro.
A partir dos dados acima, podemos concluir que é uma função inversamente proporcional. Isso pode ser percebido nos cilindros abaixo.
Conclusão
Retomando o que consideramos no trabalho, podemos dizer que a partir do primeiro problema delineado, conseguimos descobrir a quantidade de lixo produzido por uma pessoa em um intervalo de um ano. Isso nos levou a refletirmos sobre a taxa de lixo produzido, como uma taxa de crescimento de uma função, dentro de um intervalo considerado. Portanto, percebemos que como houve variação da taxa de produção de lixo, a função representada no gráfico não é determinada por uma reta, ou seja, houve variação do ângulo entre a reta e os eixos, em cada intervalo.
Em
relação ao segundo problema, consideramos a altura em função do raio, para
descobrirmos o tamanho de um cilindro necessário para o armazenamento do lixo
de Ijuí em um dia. Isso nos levou a considerarmos como constante o volume do
lixo de Ijuí, para montarmos a função, que neste caso é inversamente
proporcional. De acordo com DANTE (2002), “podemos dizer que uma
proporcionalidade é uma função
tal que, para quaisquer números reais k e x, tem-se
que:
proporcionalidade direta
se x ≠ 0 →
proporcionalidade inversa” (p. 116)
Neste trabalho de Modelagem Matemática, precisamos refletir sobre atividades que desencadeassem situações trabalhadas no ensino médio. Isso, em um primeiro momento, representou foi desafiador, pois precisávamos elaborar um problema e perceber as possibilidades de matematizar o que estávamos propondo. A partir de discussões no grupo e com a ajuda do professor, percebemos as possibilidades de trabalho. Também, precisamos revisar alguns conceitos já trabalhados durante a licenciatura, mas que não estavam consolidados.
Bibliografia
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. São Paulo: Editora Ática, 2002.
RODRIGUES, Francisco Luz & CAVINATTO, Vilma Maria. Lixo: de onde vem? Para onde vai? São Paulo: Moderna, 1997.