UNIJUí - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
DeFEM - Departamento de Física, Estatística e Matemática

Disciplina: Modelagem Matemática

Aproveitamento da água da chuva  

Gilce Berenice Cavalheiro Oliveira
Maria da Graça Ortiz
Anita Borsoi

Ijuí, julho de 2003

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INTRODUÇÃO

            Sabemos que a água cobre cerca de três quartos da superfície da Terra. Apesar disso, não podemos dispor da água ilimitadamente. Cerca de 97% desse volume é água salgada, imprópria para o consumo e para a agricultura. A água doce está distribuída, em maior quantidade, nas calotas polares e nos rios, riachos e lagos.

            Nas nações em desenvolvimento (como o Brasil), apenas uma pequena parte da população tem acesso a água potável de boa qualidade. No mundo todo, mais de 10 milhões de mortes por ano são resultantes de doenças transmitidas pela água.

            Nas nações industrializadas e desenvolvidas (como os Estados Unidos), as reservas de água tanto da superfície como subterrâneas estão sendo poluídas por esgotos domésticos e industriais, e por canais de áreas urbanas e agrícolas que transportam substâncias tóxicas.

            A água é uma riqueza natural. Cuidar dela é importantíssimo para todos nós e para as gerações futuras. Não podemos desperdiçá-la, tampouco poluir rios, córregos, riachos.

            Cerca de 40.000 crianças morrem diariamente em todo o mundo, vítimas de doenças contraídas por água contaminada ou poluída.

            Além da contaminação e poluição, a água doce vem sendo disputada em todo o planeta pela agricultura – principalmente em obras de irrigação – e por atividades industriais. Só para se ter uma idéia, são consumidas 250 toneladas de água para a produção de uma tonelada de papel e 150 toneladas de água para produzir uma tonelada de aço.

            Preocupados com a crescente escassez de água doce (das fontes, lagos, rios e outros mananciais, onde se pode obter água potável), alguns países vêm reciclando a água utilizada pelas industrias. É o caso do Japão, que recicla cerca de 70% da água industrial, remetendo aos esgotos apenas os 30% restantes.

            Exemplo de reciclagem da água de uso doméstico acontece nos Estados Unidos, onde 5% da água consumida pela população provém dos esgotos; há cidades norte-americanas que chegam a reciclar dez vezes a mesma porção de água: mesmo assim ela continua potável.

            Em 1990, cerca de 335 milhões de pessoas foram afetadas pela falta de água. Há indícios de que no ano de 2015 a quantidade de água potável será mínima em todo o planeta, mesmo purificada por técnicas modernas. Até 2025, um terço da população mundial enfrentará escassez de água.

            Estudos sobre o assunto consideram que uma quantidade de água inferior a mil metros cúbicos anuais por pessoa é insuficiente para o desenvolvimento e bem-estar da população.

            Esses dados deveriam ser um alerta para a preservação dos ambientes de água doce em todo o mundo, o que, na realidade, não vem acontecendo.

            A partir disto achamos que seria interessante fazermos a construção de um reservatório para recolher a água da chuva a fim de aproveitá-la. Então, tomamos como base uma determinada residência, medindo a vazão da água, a qual provavelmente difere de lugar para lugar.

            Determinamos três serviços a serem feitos com a água da chuva e o tempo de duração dos mesmos: lavar o carro (mais ou menos 30 minutos), irrigar as plantas (mais ou menos 10 minutos) e lavar a calçada (mais ou menos 25 minutos). Conforme as informações obtidas calculamos a capacidade do reservatório e a economia (R$) mensal e anual, no orçamento familiar.

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DESCRIÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA

1)      COMO MEDIR A VAZÃO DA ÁGUA EM UMA RESIDÊNCIA?

Para medir a vazão da água, precisamos dividir um determinado volume de água, pelo tempo de escoamento do mesmo.

V = vazão                V = volume                 t = tempo

V = V/ t

Medidas do balde:

CM = 70,5 cm

CN = 65 cm

CÁLCULO DO RAIO

2p R = 70,5                            2pN = 65

     R = 70,5 / 2p                         N = 65 / 2p

     R = 11,23 cm                         N = 10,35 cm

CÁLCULO DA ALTURA

D= 2R                         D = 2 x 11,23 cm                                D = 22,46 cm

d = 2R                         d = 2 x 10,35 cm                                d = 20,70 cm

m = D/2 – d/2

m = 11,23 – 10,35

m = 0,87 cm

g² = m² + h²                             h² = g² – m²

h² = g² – m²

h² = (20,5)² – (0,87) ²

h² = 420,25 – 0,76

h² = 419,49

h = 20,48 cm

CÁLCULO DO VOLUME DO BALDE

V = p h/3 [R² + Rr + r²]

V = p 20,48 / 3 [(11,23)² + 11,23 x 10,35 + (10,35)²]

V = 21,43 [126,11 + 116,23 +107,12]

V = 7.488,98 cm³

1dm³ = 1 litro, logo V = 7,49 litros

VASÃO DA ÁGUA

1/6 V

V = V / t              V = 7,48 l / 60s                       V = 0,12 l/s     ou        7,48 l/min.

2/6 V

V = V / t                  V = 7,48 l / 40s                       V= 0,187 l/s    ou        11,22 l/min.

3/6 V

V = V / t              V = 7,48 l / 30s                       V= 0,249 l/s    ou        14,96 l/min.

4/6 V

V = V / t              V = 7,48 l / 25s                       V= 0,299 l/s    ou        17,94 l/min.

5/6 V

V = V / t              V = 7,48 l / 22s                       V = 0,34 l/s     ou        20,4l/min.

6/6 V = 1 volta

V = V / t              V = 7,48 l / 20s                       V = 0,374 l/s   ou        22 / 44 l/min.

TRATAMENTO DO ERRO EXPERIMENTAL

	1	2	3	cm
cm	70,5	70	71	70,5
cm	64,5	65	65,5	65

VARIANÇA  

	xi-x
70,5	0	0
70	-0,5	0,25
71	0,5	0,25
	0	0,5

S² = å (xi – x)² / n – 1

S² = 0,5 / 2      S² = 0,25 cm

DESVIO PADRÃO

S =   S²            S =   0,25        S = 0,5 cm

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Cv = (S/x) 100                        Cv = (0,5/3) 100                     Cv = 16,66%

Logo o grupo é homogêneo em torno da média.

PROBLEMA 2

® Determinar a capacidade do reservatório, para:

-         Lavar o carro (mais ou menos 30 minutos);

-         Irrigar as plantas (mais ou menos 10 minutos);

-         Lavar a calçada (mais ou menos 25 minutos).

CÁLCULO DO CONSUMO DE ÁGUA

                        C = V x t

HIPÓTESE I  

HIPÓTESE II

HIPÓTESE III

HIPÓTESE IV

HIPÓTESE V

HIPÓTESE VI

            Para uma maior segurança, quanto a capacidade do reservatório, consideramos 20% a mais. Como segue a baixo:

C = V x t x 1,2

HIPÓTESE I

C = 584,16 l

HIPÓTESE II

C = 875,16 l

HIPÓTESE III

C = 1.167,12 l

HIPÓTESE IV

C = 1.399,32 l

HIPÓTESE V

C = 1.591,2 l

HIPÓTESE VI

C = 1.750,32 l

ANÁLISE DO CONSUMO POR MÊS, SE O MESMO DURASSE 4 SEMANAS

Cm = Qt x 4

HIPÓTESE I

Cm = 4Q

Cm = 1.947,2 l

HIPÓTESE II

Cm = 4Q

Cm = 2.917,2 l

HIPÓTESE III

Cm = 4Q

Cm = 3.890,4 l

HIPÓTESE IV

Cm = 4Q

Cm = 4.664,4 l

HIPÓTESE V

Cm = 4Q

Cm = 5.304 l

HIPÓTESE VI

Cm = 4Q

Cm = 5.834,4 l

            Logo, a capacidade do reservatório corresponde a cada hipótese.

DEMONSTRAÇÃO DA ECONOMIA (R$) NO MÊS:

            Para isto pesquisamos na Corsan o preço do metro cúbico da água.

Custo do metro cúbico é R$ 2,18.

1 l = 1 dm³, logo, 1 l = 0,001 m³

1° Transformar o consumo em l, para m³:

            Para transformar o consumo em l, em m³, multiplicamos por 0,001 m³, ou seja:

            C = Cm x 0,001 m³

            Também poderia usar regra de três.

HIPÓTESE I

Cm = 1.947,2 l

Cm = 1,95 m³

HIPÓTESE II

Cm = 2.917,2 l

Cm = 2,98 m³

HIPÓTESE III

Cm = 3.890,4 l

Cm = 3,89 m³

HIPÓTESE IV

Cm = 4.664,4 l

Cm = 4,66 m³

HIPÓTESE V

Cm = 5.304 l

Cm = 5,30 m³

HIPÓTESE VI

Cm = 5.834,4 l

Cm = 5,83 m³

2° Calcular a economia mensal.

Custo do m³ é R$ 2,18

E = Cm x R$               E = 2,18 Cm

HIPÓTESE I

E = R$ 4,25

HIPÓTESE II

E = R$ 6,50

HIPÓTESE III

E = R$ 8,50

HIPÓTESE IV

E = R$ 10,15

HIPÓTESE V

E = R$ 11,55

HIPÓTESE VI

E = R$ 12,70

3° Calculara a economia anual

E = Em x 12                E = 12 Em

HIPÓTESE I

E = R$ 51,00

HIPÓTESE II

E = R$ 78,00

HIPÓTESE III

E = R$ 102,00

HIPÓTESE IV

E = R$ 121,80

HIPÓTESE V

E = R$ 138,60

HIPÓTESE VI

E = R$ 152,40

OBS.: Marca da torneira HERC

CONCLUSÃO

        O tema Água potável, cada vez mais é assunto de jornais, encontros e de total necessidade de ser abordado em meios escolares. Pensando nisso, em como evitar o desperdício da água e uma redução de custos no orçamento familiar, foi desenvolvido alguns modelos matemáticos, a fim de construir um reservatório para água da chuva, a qual seria usada para lavar calçada (mais ou menos 25 minutos), lavar o carro (mais ou menos 30 minutos) e irrigar as plantas (mais ou menos 10 minutos), uma vez por semana.

            Nas primeiras investigações feitas, foi observado que a vazão da água, não é igual em todas as residências, neste ponto já foi observado que os resultados dos modelos matemáticos poderiam ser diferentes necessidade e de desenvolvimento de novos modelos matemáticos conforme a residência, ou hábitos da família. Numa família onde as caçadas sejam maiores, o tempo será maior, logo o consumo de água também. No verão as plantas precisam ser irrigadas mais vezes durante a semana, o consumo de água também irá aumentar.

            A maioria dos problemas foram resolvidos usando modelos matemáticos muito simples: equações de primeiro grau. Somente para calcular o volume do balde e o cálculo do coeficiente de variação, usamos conteúdo do ensino médio, mas pode ser calculado de outras formas, adaptando para o ensino fundamental.

             Neste trabalho usamos os seguintes conteúdos: Equações de 1 grau, Geometria e Estatística. Poderia ser usado: regra de três, trigonometria, sistema de medidas (comprimento e volume). Isso mostra que este assunto é rico em informações matemáticas, podendo ser desenvolvidas muitas outras problematizações e modelagens matemáticas, interligadas a outras áreas do conhecimento.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARROS, Carlos e; PAULINO, Wilson Roberto. Ciências: o meio ambiente. 5° série. 64° edição. São Paulo: Ed. Ática, 2001.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; JÚNIOR, José Ruy Giovanni. Matemática fundamental. 2° grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994, 472 pg.