PROJEÇÃO DO CONSUMO DE ÁGUA NO MUNICÍPIO DE IJUÍ
Andréa Paula Rochenbach Fauro* - e-mail:adroche@terra.com.br
Graciela Andreia Blume* - e-mail: gradeia@ig.com.br
Taciana Meggiolaro Leonarczyk*
1.INTRODUÇÃO
As mais bonitas imagens da Terra, aquelas que são agradáveis aos olhos, à imaginação, as que são um convite ao relaxamento, sempre têm a água em sua composição: as ondas do mar, as cachoeiras, um riacho cristalino, a neve sobre as montanhas, os lagos espelhados, a chuva caindo sobre as plantas, o orvalho...
A ciência tem demonstrado que a vida se originou na água e que ela constitui a matéria predominante nos organismos vivos. É impossível imaginar um tipo de vida em sociedade que dispense o uso da água: água para beber e cozinhar; para a higiene pessoal e do lugar onde vivemos; para o uso industrial; para a irrigação das plantações ; para geração de energia; e para navegação.
A água é um elemento essencial à vida. mas, a água potável não estará disponível infinitamente. Ela é um recurso limitado. Parece inacreditável, já que existe tanta água no planeta!
A água ocupa 70% da superfície da Terra. A maior parte, 97% é salgada. Apenas 3% do total é água doce e, desses, 0,01 vai para os rios, ficando disponível para o uso. O restante está em geleiras, icebergs e em subsolos muito profundos. Ou seja, o que pode ser potencialmente consumido é uma pequena fração.
A água se encontra ameaçada pela poluição, pela contaminação e pelas alterações climáticas que o ser humano vem provocando. Além do perigo que representa para a saúde e bem-estar do homem, a degradação ambiental é apontada pela Organização mundial de Saúde como uma importante ameaça ao desenvolvimento econômico. Em geral, uma pessoa só toma consciência da importância da água quando ela lhe falta...
Neste sentido, acreditamos ser necessário investigarmos o consumo água no município de Ijuí, baseando-se nos dados fornecidos pela Companhia de Tratamento e Distribuição de Água Potável, considerando que a população atual é de 78.000 habitantes, conforme o último senso.
Este trabalho tem por objetivo analisar o consumo de água nos anos 1998, 1999, 2000, 2001, 2002 e até o mês outubro de 2003, para então projetar os meses de novembro e dezembro de 2003 e também os próximos anos, observando um crescimento ou queda no consumo de água respectivamente.
Faz-se uso da matemática, através da representação de tabelas e construção de gráficos no plano cartesiano, utilizando-se do estudo das equações e funções, bem como o cálculo de expressões algébricas como os polinômios e sistemas lineares, conteúdos estes presentes no Ensino Fundamental.
Assim, a modelagem matemática é uma forma de integrar conteúdos escolares com situações da realidade que pode contribuir para a aprendizagem, tendendo a satisfazer, de forma mais eficiente, às necessidades do indivíduo para a vida social.
*Alunos do Curso de Licenciatura Plena em matemática da Unijuí –RS.
2.PROJEÇÃO DO CONSUMO DE ÁGUA PARA OS MESES DE NOVEMBRO E DEZEMBRO DE 2003
Este trabalho partiu da idéia de projetar o consumo de água no município de Ijuí.
Resolvendo este problema, buscamos dados na Companhia de Tratamento e Distribuição de Água Potável, referentes ao consumo de água no município.
Analisando os dados disponíveis, construímos tabelas e gráficos referentes ao consumo de água de 1998, 1999, 2000, 2001, 2002 e até outubro de 2003. A partir desses dados, projetamos o consumo de água nos meses de novembro e dezembro de 2003, levando em consideração o consumo no mesmo período dos anos anteriores.
Ao discutirmos sobre o assunto água, precisamos considerar que: “A água é o constituinte mais característico da terra. Ingrediente essencial da vida, a água é talvez o recurso mais precioso que a terra fornece à humanidade. Embora se observe pelos paísdes mundo afora tanta negligência e tanta falta de visão com relação a este recurso, é de se esperar que os seres humanos tenham pela água grande respeito, que procurem manter seus reservatórios naturais e salvaguardar sua pureza. De fato, o futuro da espécie humana e de muitas outras espécies pode ficar comprometido a menos que haja uma melhora significativa na administração dos recursos hídricos terrestres”.(J.W.maurits la Rivière, Ph.D. em microbiologia, Delft University of Technology, Holanda)
Para a projeção do consumo de água, foram formuladas duas hipóteses com base na média feita no mesmo período dos anos anteriores. Realizando a representação graficamente por uma reta e uma parábola.
3.RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 1
1ª Hipótese: reta
y(m³)
Figura 1 – Representação do consumo de água através da reta.
Conforme a função linear y = ax + b, definimos a função da reta do gráfico acima. Para tanto, foi encontrado o coeficiente a e b da mesma, sendo:
a= quociente entre 
e 
b= consumo do mês de outubro (constante)
y = consumo de água (m³)
= tempo(dias)
= diferença do consumo entre os meses de dezembro e outubro
x = tempo (dias)
Utilizando os dados da Tabela 1, obtêm-se os coeficientes angular e linear, respectivamente para o ano de 1998 sendo:
E a equação y = 683,03x + 178.331
Com procedimento análogo ao realizado para o ano de 1998, foram obtidas as equações para os anos de 1999, 2000, 2001 e 2002 respectivamente:
y=90,01x + 189.565
y=462,5x + 171.459
y=1.809,083x + 70.396
y=188,35x +181.243
Determinando a (média) :
Obtendo a equação que representa o consumo de água no ano de 2003:
y = 
x + b
y = 646,61x + 205.993
O consumo para o mês de novembro e dezembro de 2003 respectivamente:
NOVEMBRO
y = 646,61*30 + 205.993
y = 225.391,3
DEZEMBRO
y = 646,61*60 + 205.993
y = 244.789,6
Houve um aumento contínuo do consumo de água, no período em questão, validando esta hipótese, entretanto desconsideramos a veracidade deste modelo matemático uma vez que só poderia ser comprovado com os dados oficiais fornecidos pela Companhia de Tratamento e Distribuição de Água Potável do consumo nos meses em questão.
2ª Hipótese: parábola
y (m³)
( tempo em dias)
Figura 2 - Representação do consumo de água através da parábola
Através da função do 2º Grau y = ax² + bx + c, foi encontrada a curva que representa a parábola do gráfico acima, através de seus coeficientes
a, b e c.
Realizamos o cálculo da média do consumo de água dos meses de outubro, novembro e dezembro, dos anos considerados:
Tabela 2- Cálculo da soma do consumo de água nos meses de outubro, novembro e dezembro.
Cálculo da média :
OUTUBRO = 791.000 ¸ 5 = 158.200
NOVEMBRO = 906.454 ¸ 5 = 181.290,8
DEZEMBRO = 984.984 ¸ 5 = 196.996,8
Realizando este cálculo, definimos as duas equações:
181.290,8 = a*(30) ² + b*(30) + 205.993
196.996,8 = a*(60) ² + b*(60) + 205.993
900a+ 30b + 24702,7 = 0 * (-2)
3600 a + 60b + 8996,2 = 0
-1800 a – 60b – 49405,4 = 0
3600 a+ 60b + 8996,2 = 0
-1800 a – 40409,2 = 0
a = 22,44
3600 * 22,44 + 60b + 8996,2 = 0
80640 + 60b + 8996,2 = 0
b = 1493,93
Logo = 22,44 x² + 1493,93x + 158.200, à esta função necessitamos ainda adicionar uma outra função constante y = 47799 em razão da diferença entre e C(outubro de 2003).
( tempo em dias)
Figura 3 – Diferença entre e C.
Chegando à função geral para a parábola:
= 22,44 x² + 1.493,93x + 158.200 + 47799
= 22,44 x² + 1.493,93x + 205.999
Obtemos a formação de uma parábola, no período em questão, validando esta hipótese.
4. PROJEÇÃO DO CONSUMO DE ÁGUA PARA UM ANO FUTURO
O problema consiste em estimar o consumo de água para um ano futuro, com base no consumo médio dos últimos cinco anos.
5.RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2
Utilizando a média mensal do período em questão que pode ser visualizado na tabela 3, foi definida a função para o consumo de água para os próximos anos.
Tabela 3: média do consumo de água nos últimos cinco anos:
Definindo os pontos para utilizar na resolução do problema:
x= tempo (mês)
y=média mensal do consumo de água nos últimos cinco anos
Obtendo as seguintes funções:
P1: 67571=a + b + c +d + e + f + g + h + i + j + l + m
P1: 95729.2=2048a+ 1024b+ 512c+ 256d+ 128e+ 64f+ 32g+ 16h+ 8i+ 4j+ 2l+m
P2: 93171=177147a+59049b+19683c +6561d + 2187e + 729f + 243g + 81h+27i+9j+3l+m
P3: 96299.2=4194304a+1048576b+262144c+65536d+16384e+4096f+1024g+256h+64i+16j+4l+m
P4: 77722=48828125a+9765625b+1953125c+390625d+78125e+15625f+3125g+625h+125i+25j+5l+m
P5: 76725=362797056a+60466176b+10077696c+679616d+279936e+46656f+7776g+1296h+216i+36j+6l+m
P6: 64136=1977326743a+282475249b+40353607c+5764801d+823543e+117649f+16807g+2401h+343i+49j+7l+m
P7: 64535,=8589934592a+1073741824b+134217728c+16777216d+2097152e+262144f+32768g+4096h+512i+64j+8l+m
P8: 71948,8=31381059609a+3486784401b+387420489c+43046721d+4782969e+531441f+59049g+6561h+729i+81j+9l+m
P9: 58200=100000000000a+10000000000b+1000000000c+100000000d+10000000e+1000000f+100000g+10000h+1000i+100j+10l+m
P10: 81290,8=285311670611a+25937424601b+2357947691c+214358881d+19487171e+1771561f+161051g+14641h+1331i+121j+11l+m
P11: 96996,8=743008370688a+61917364224b+5159780352c+429981696d+35831808e+2985984f+248832g+20736h+1728i+144j+12l+m
A partir destes, à princípio, foi escolhido três pontos para a construção de três
equações, considerando P1: janeiro, P6: junho e P12:
dezembro:
Com o auxílio do aplicativo maple, o sistema acima foi resolvido na forma matricial, obtendo a função:
y=140,7230303 x²+845,6187879x+166585,2582
Em seguida utilizando as doze equações acima, chegamos à função que projetará o consumo de água potável para os anos futuros:
y=-0,1712 x11+7,9988026x10 -154,645786x9 +1602,180505x8 -9583,33705x7 +32913,15019x6 -59017,26498x5 +39621,31507x4 -8164,92276x3 +88396,20927x2 -138469,9295 x +22421,0175
Assim, projetando o consumo para o ano de 2003, teremos:
Tabela 4: Projeção do consumo de água em Ijuí
6.CONCLUSÃO
Nesta disciplina de modelagem matemática I fomos desafiados a desenvolver um trabalho que envolvesse conteúdos do ensino fundamental e médio com modelagem matemática.
Primeiramente pensamos sobre traçar um perfil dos consumidores de água mineral, porém não tivemos acesso aos dados que precisávamos, impedindo a agilização do processo de modelagem na sua primeira fase, que é de interação com a situação a ser pesquisada.
Após algumas discussões no grupo, resolvemos fazer uma visita à Companhia de Tratamento e Distribuição de Água Potável, na busca de dados sobre o consumo de água nos últimos 5 anos. Isso proporcionou o que BIEmBENGUT(1999), denominou de familiarização com a situação-problema, tornando-a “cada vez mais clara, à medida que se vai interagindo com os dados”(p.22). Ou seja, no momento em que conseguimos os dados podemos com a ajuda do professor montar a estrutura do trabalho, tornando-se visível o que pretendíamos fazer. Partimos então para a etapa que exige um olhar aprofundado em relação à matemática, sendo imprescindível realizar a tradução da situação-problema para a linguagem matemática. A autora acima citada, chama de matematização a esta fase em que passamos a formular e resolver o problema.
Um fator importante que precisamos levar em consideração quando estamos trabalhando com modelagem é conseguir estabelecer os problemas que serão explorados, para então se preocupar com a matemática que será utilizada para selecioná-lo, pois como podemos perceber os conteúdos matemáticos vão surgindo a cada nova idéia que tivemos para solucionarmos os problemas, sendo que se verifica que a modelagem está presente no Ensino Fundamental e médio.
O modelo matemático inicialmente proposto, consegue solucionar o problema 1 de acordo com o entendimento que tivemos desta disciplina, porém sua validação somente é possível se tivermos os dados da Companhia de tratamento e Distribuição de Água Potável referente aos meses de novembro e dezembro de 2003, fazendo um comparativo com o que propomos no trabalho, estabelecido através de uma média do consumo no mesmo período nos últimos anos, e verificando se de fato, isto aconteceu, como também ocorre para o problema 2, sendo que a validação destes modelos se torna interessante no momento em que verifica-se se o que estamos projetando de fato se concretiza.
Contudo, acreditamos que a modelagem matemática contribuiu para o ensino e a aprendizagem da matemática, possibilitando a participação do aluno em todas as fases do processo, com discussões interessantes e significativas a partir do momento em que se faz um recorte da realidade e explora-se dentro de uma determinada situação, oportunizando “estudar situações-problema por meio de pesquisa, desenvolvendo o interesse e aguçando o senso crítico” (BIEmBENGUT, 199, p.36), desta forma as aulas são mais atrativas e também mais agradáveis saindo do tradicional, quadro e giz, explorando assuntos do cotidiano de nossos alunos.
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BIEMBENGUT, maria Salette. modelagem matemática e implicações no ensino-aprendizagem de matemática. Blumenau. Editora da Furb, 1999.
DANTE, Luiz Roberto. matemática:contexto & aplicações. São Paulo.Editora Àtica, 2002.