INTRODUÇÃO
No meio onde vivemos estamos rodeados de inúmeras embalagens de vários tipos, tamanhos e formas.
A importância das embalagens vivas talvez tenha sido entendida pelo homem, quando observou a coincidente facilidade de deteriorização do alimento, quando este era privado do seu invólucro inicial.
Os egípcios usavam recipientes elaborados com argila do Nilo, para a exportação de seus vinhos.
Metais como o ouro e a prata,
depois de fundidos em lingotes, eram martelados por antigos chineses, que das
chapas obtidas, fabricavam recipientes de várias formas e tamanhos.
O vidro, dos mais populares materiais empregados em embalagens, na forma de garrafas e recipientes sob vários modelos, é mencionado desde épocas milenares. Foram elaborados há mais de dois mil anos antes de cristo pelos egípcios.
O papel, com o surgimento da escrita também originou nesse período, sendo hoje muito utilizado como materias para envoltórios.
Em 1907 surgiu as primeiras embalagens com plástico, mas só tomou verdadeiro impulso, em 1942, onde foi fabricado o polietileno com escala comercial, apesar de sua descoberta tenha ocorrido em 1930. com novas técnicas foi possível o surgimento de inúmeros materiais plásticos, aplicados segundo as características dos alimentos e das conveniências nutritivas e mercadológicas.
De acordo com a filosofia de marketing, a embalagem tem por finalidade, “vender” ou a embalagem é a arte, a ciência e a técnica de acondicionar o produto, para que ele seja transportado, vendido e consumido.
O tema abordado sobra as formas de gelo é de grande importância para os educandos, uma vez que todas as embalagens estão presentes em seu dia a dia. Já na escola, o tema pode ser explorado com enfoque mais educativo, possibilitando explorar as prévias informações de forma mais elaborada e sistematizada, em estreita ligação com os conteúdos matemáticos ali estudados.
Outro sim é possível explorar vários conteúdos exclusivamente matemáticos a partir do tema aqui abordado como, por exemplos geometria espacial(volume e área) e integrai.
Sem esquecer que trabalhando todos os conteúdos escolares com significação real, é de sua cidadania, mediante o conhecimento sistematizado de situações reais que permitem de imediato, sua intervenção direta na realidade.
Descrição
da Modelagem Matemática
O interesse pelo tema “Formas de Gelo” surgiu devido a importância de contextualizar o assunto abordado com as diversas áreas do conhecimento e tendo como meta a formação do aluno como um todo, tendo coisas presente do dia a dia do aluno para despertar seu interesse. Assim utilizamos as Formas de Gelo com objetivo de abordarmos conceitos matemáticos a serem trabalhados de forma diferenciada e com a participação dos alunos.
Problematização
dos modelos matemáticos
PROBLEMA 1:
v Qual das Formas de Gelo comporta o maior volume de água?
PROBLEMA 2:
v Qual a quantidade de plástico utilizado para a fabricação da forminha número 1?
PROBLEMA 3:
v Construção de uma forma de gelo com o formato de Parabolóide Elíptico Regular.
PROBLEMA 4:
v È viável a fabricação da forminha 4, em relação a comparação da quantidade de plástico?(relacionando com a quantidade de plástico da forminha 1, e que esta possua o mesmo número de espaço que a número 1)
Desenvolvimento
do problema 1:
Utilizando
a régua escolar encontra-se após uma média o seguinte valor matematicamente:
FORMA NÚMERO 1:
Trata-se de um tronco de pirâmide, que possui:
Base inferior: 1,6cm x 3,6cm =5,76cm2
Base superior: 2,5cm x 4,1cm =
10,25cm2
Altura: 3,1cm
Portanto:
, onde :
K=altura B=base superior e b=base inferior
V≈24,4835cm3
Sendo que nesta forma possui 16 espaços iguais a este, portanto:
V≈391,736cm3
FORMA
NÚMER
Esta forma possui seus cantos e até mesmo a sua base inferior mais arredondada, porém devido a falta de tempo decorrente a disciplina do regime especial, para que houvesse um maior aprofundamento deste espaço, se aproximou a mesma como sendo também como a forma 1 um tronco de pirâmide. Esta possui, portanto:
Base inferior: 2,3cm x 1,7cm=3,91cm2
Base superior: 3,4cm x 2,6cm=8,84cm2
Altura: 1,9cm
V≈11,7985cm3
Sendo que nesta forma 2 há 16 espaços iguais a este portanto:
V≈188,776cm3
FORMA NÚMERO 3
Base inferior: 1,8cm x 2,9cm=5,22cm2
Base superior: 2,9cm x 3,8cm =11,02cm2
Altura: 2,1cm
v≈16,667cm3
Sendo que nesta forminha 3 existe 12 espaços iguais a este, portanto:
V≈200,004cm3
≈ 200cm3
Após a medição e os cálculos matemáticas, utilizamos um Becker e medimos a quantidade de água que coube naquele espaço medido em cada forma. Então chegamos as seguintes médias:
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|
Nº de espaços |
Medição1 |
Medição2 |
Medição3 |
Medição4 |
Média |
Total |
|
Forma1 |
16 |
25cm3 |
23cm3 |
24,5cm3 |
23,5cm3 |
24cm3 |
16x24=384cm3 |
|
Forma2 |
16 |
13cm3 |
12,5cm3 |
14cm3 |
12cm3 |
12,875cm3 |
16x12,875=206cm3 |
|
Forma3 |
12 |
17cm3 |
20cm3 |
17cm3 |
18,5cm3 |
18,125cm3 |
12x18,125=217,5cm3 |
TABELA COMPARATIVA:
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|
Número de espaços |
MATEMATICAMENTE |
MEDIÇÃO |
DIFERENÇA |
|
FORMA 1 |
16 |
391,736cm3 |
384cm3 |
7,736cm3 |
|
FORMA 2 |
16 |
188,776cm3 |
206cm3 |
17,224cm3 |
|
FORMA 3 |
12 |
200cm3 |
217cm3 |
17cm3 |
Conclusão problema 1:
Com o desenvolvimento do problema “1” de duas formas diferentes pudemos notar que as diferenças não foram grandes. Sempre levando em conta que na forma manual como na forma matemática há erros de precisão como, por exemplo, a maneira ou até o ângulo que cada um observa a medida e as pequenas gotas que permanecem no recipiente.
O objeto do presente trabalho com a maior capacidade de água segundo nossas medições e cálculos e a forminha número 1, em seguida a forminha 3 que mesmo tendo 4 espaços a menos comporta mais água que a forminha 2.
Desenvolvimento
do problema 2:
Analisando a forminha de número 1 gostaríamos de saber qual a quantidade de plástico utilizado para a fabricação dos espaços. Portanto:
Considerando que a forminha possua uma espessura de 0,08cm através do volume calculamos esta quantidade de plástico.
Volume
interno:
Base inferior: 1,6cm x 3,6cm =5,76cm2
Base superior: 2,5cm x 4,1cm =
10,25cm2
Altura: 3,1cm
Portanto:
, onde :
K=altura B=base superior e b=base inferior
V≈24,4835cm3
Sendo que nesta forma possui 16 espaços iguais a este, portanto:
V≈391,736cm3
Volume externo
Base inferior: 1,68cm x
3,68cm=6,1824cm2
Base superior: 2,58cm x 4,18cm
=10,7844 cm2
Altura: 3,18cm
Portanto:
, onde :
K=altura B=base superior e b=base inferior
Sendo que nesta forma possui 16 espaços iguais a este, portanto:
16 . 26,6401 =426,2416cm3
Entre os espaços ocupados pela água há também plástico, considerados sobras. Estes possuem 0,5cm de diâmetro.
Ø
9 espaços possuem 9,7cm. Portanto
seu volume:
V=b . h área da base:9,7cm . 0,5cm=4,85cm2
Volume=4,85cm2 . 0,08cm=0,388cm3
9 . 3,388cm3=3,492cm3
Ø
3 espaços possuem 24,5cm. Portanto
seu volume:
V=b . h área da base:24,5cm . 0,5cm=12,25cm2
Volume=12,25cm2 . 0,08cm=0,98cm3
3 . 0,98cm3=2,94cm3
Portanto o volume de plástico
será:
Volume
externo – volume interno: volume total
426,2416cm3
– 391,736cm3=34,264cm3
Volume total + volume das sobras:
34,264cm3
+3,492cm3+2,94cm3
VOLUME
TOTAL DE PLÁSTICO= 40,696cm3
Conclusão problema 2
Com o desenvolvimento do problema 1 pudemos perceber a quantidade de plástico utilizado para a fabricação de uma forminha de gelo que comporta 16 espaços para a formaçÃo de gelo. E neste exemplo, a forminha foi fabricada utilizando um total de 40,696cm3 de plástico.
Desenvolvimento
do problema 3:
A forminha criada terá o formato da seguinte figura, tendo uma profundidade de 3cm. A sai base superior será um círculo com um diâmetro de 4cm.
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|||
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|||
Alguns pontos:
A(0,2,3)
0,03)
C(0,-2,3)
X=0
Y=0
Portanto:
Volume
externo:
Volume
interno
Volume
de plástico da forminha=
Vê-Vi=0,6208cm3 por espaço
Considerando que esta forma possua 16 espaços, portanto:
16 x 0,6208cm3=9,9328cm3
O volume interno calculado é na verdade a capacidade de água que esta forminha irá comportar em cada um de seus espaços e levando em conta ainda que esta forminha tem 16 espaços então terá uma capacidade total
Capacidade total de água da forminha número 4:
16 . Vi= 16 . 5,3792
cm3
Volume total=86,0672
cm3
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Forma 1 |
Forma2 |
Forma3 |
Forma 4 |
|
Volume |
391,736cm3 |
188,776cm3 |
200cm3 |
86,0672
|
Conclusão do problema
Portanto a forminha de gelo criada possui o formato de um parabolóide elíptico regular, com uma profundidade de 3 cm e em sua base uma circunferência de raio 2cm. Calculando o seu volume pode-se constatar que a mesma possui uma capacidade de água em um total de 86,0672
cm3. E a mesma seria fabricada com um total de 9,9328cm3 de volume de plástico. Sendo
que na questão de capacidade e analisando as outras três forminhas está
é a segunda com mais capacidade.Desenvolvimento do problema 4:
Para analisarmos qual das duas forminhas pe mais viável para a fabricação levaremos novamente em conta somente os espaços que são utilizados para a água, sem levar em consideração o restante da forminha.
Como já sabemos pelo problema 2 a forminha número 1 possui uma área de 585,28 cm2 e para relacionarmos com a forminha confeccionada devemos calcular o volume de plástico para a mesma, o qual processo foi desenvolvido no problema 3
Podemos notar assim que a forminha número 1 possui maior área que a forminha número 4. Levando em conta apenas os espaços para a água, julgou-se que para o fabricante é viável a fabricação, pois ocupará menos plástico para cada espaço. Porém para o consumidor não é viável, pois acumulará menos gelo em cada espaço. Observe:
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Se formos analisar as figuras acima e supormos que os retângulos são iguais, notaremos que a segunda figura ocupará um maior espaço que a figura 1. Assim podemos fazer a mesma análise comparando a figura 2 como sendo a forminha número 1 e a segunda figura como sendo a forminha número 2.
Levando em conta o número
como sendo 3,14, a forminha 4 terá uma capacidade de 270,251cm3 e a
forminha 1 terá uma capacidade de 391,736cm3. Provando assim que a
forminha 1 tem uma maior capacidade que a forminha 4.
Com os cálculos de quanto plástico
há em cada uma das forminhas foi detectado anterior que a forminha 1 possui
cerca de 34,264cm3 de plástico(levando em consideração apenas os
espaços ocupados pela água) e a forminha 4 possui 9,9328cm3 de plástico.
Analisando também a seguinte tabela poderemos perceber a perda do consumidor, que se tratando de uma forminha é pouco, mas para o fabricante que produz milhares de forminhas o lucro acaba sendo muito grande.
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Preço por forminha |
Volume aproximado (cm3) |
Preço por cm3(aproximado) |
|
Forma 1 |
R$ 2,00 |
34,264 |
R$0,05837 |
|
Forma 4 |
R$ 2,00 |
9,9328 |
R$0.20135 |
|
Diferença |
**** |
24,6312 |
R$0,14298 |
Podemos assim analisar que para o consumidor ao comprar a forminha número 4 terão uma perda de R$0,14298 de plástico e uma perda de 24,6312por cm3 de plástico. Para o consumidor ao comprar uma forma não há um prejuízo muito grande. Mas como foi dito anteriormente, para o fabricante haverá um lucro maior, como podemos prever na tabela que segue :
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Volume a mais de uma formas 1 |
volume de 1000 formas 1 |
Lucro de uma forma 1 |
Lucro de 1000 formas 1 |
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Forma 1 |
24,6312cm3 |
24631,2cm3 |
R$0,14298 |
R$142,98 |
Conclusão
Com o trabalho desenvolvido pode-se perceber a importância de se trabalhar assuntos diferenciados e que somos capazes de produzirmos trabalhos muitos ricos que possam despertar o interesse dos alunos. Ainda mais sobre assuntos do cotidiano do mesmo.
O trabalho com as forminhas foi muito gratificante, pois de algo que muitas vezes não chama a atenção de ninguém, algo que muitas vezes fica despercebido dentro de uma geladeira, possa possibilitar um trabalho tão rico e gratificante.
Foi analisado quatro forminhas, 3 já existentes em nossas casas e a quarta foi criada pelo grupo que realizou este trabalho. E com isso podemos perceber que as pessoas sempre não se preocupam com a capacidade que as forminhas comportam, assim muitas vezes saindo com prejuízo, pois outra pode ter a mesma capacidade e com o preço reduzido. Mas este prejuízo para o bolso familiar não é significativo, pois é muito pequeno. Questões de alguns centavos Poe forma. Já que em uma família não são renovadas regularmente as mesmas. Porém, para uma fábrica o lucro já é bem visível e significativo, pois está sendo tratado de milhões de forminhas.
O objeto estudado pode proporcionar um rico trabalho de geometria, pode-se também com os alunos abrir uma delas para fazer um trabalho mais preciso. E cabe a cad professor organizar o trabalho da melhor forma que se enquadre com a realidade que se encontram. E que existem muitas outras formas distintas, com formatos diferentes e que devem ser levados em conta todos os seus aspectos.