UNIJUÍ - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul DeFEM - Departamento de Física, Estatística e Matemática
Modelagem Matemática I - Professor: Pedro Borges

A Variação da Produção Leiteira ao Longo do Ano

Adriana Bueno Martinez, Adelina Martinez Feijó, Vânia Greff de Morais

Ijuí,julho de 2003

 

1 Introdução

O estudo sobre  a produção leiteira possibilita desenvolver diversos conteúdos matemáticos a partir  de situações concretas, as quais são de suma importância para que os educandos atribuam significados aos conceitos matemáticos trabalhados em aula.

Nesse sentido, desenvolvemos um trabalho de pesquisa com o seguinte tema: A variação da produção leiteira ao longo do ano; visando criar um modelo matemático a partir de dados obtidos através do modelo 1, elaborado na disciplina de Modelagem Matemática I, o qual enfatiza o lucro do produtor com a produção leiteira, optando por dar continuidade ao mesmo.

Buscamos uma comparação entre os valores relacionados à variação da produção leiteira, obtidos de forma experimental e os calculados através da integral. A partir de tabelas e gráficos do modelo 1, procuramos solucionar o problema, desenvolvendo os conteúdos de: funções, integrais, sistemas lineares, cálculo de área, matrizes, entre outros.

2 Descrição da Modelagem Matemática

Visando uma continuidade do modelo desenvolvido na disciplina de Modelagem Matemática I, optamos por seguir o mesmo tema, dando outros enfoques que envolvam conteúdos trabalhados no ensino médio pois, é importante que se busque uma alternativa para desenvolver os conceitos matemáticos de maneira contextualizada com a realidade, de tal modo que o aluno construa sua aprendizagem de forma significativa.

Como na primeira etapa do trabalho mostramos o lucro da produção leiteira em diferentes etapas do ano, da seguinte forma: bloco 1 – dezembro, janeiro, fevereiro e março, bloco 2 – abril e maio, bloco 3 – junho, julho, agosto e setembro e, bloco 4 – outubro e novembro, procuraremos verificar as variações que ocorrem na quantidade de leite produzida no decorrer do ano.

 Partindo do gráfico, relacionando quantidade de leite produzida em cada dia do ano, traçamos uma curva que descrevesse a variação na produção leiteira, marcamos pontos que passam por essa curva, e a partir deles obtivemos equações que nos permitiram, através de um sistema, encontrar a função que descreve a curva.

ETAPAS DO ANO	QUANTIDADE PRODUZIDA
Bloco 1	14.400 litros
Bloco 2	4.200 litros
Bloco 3	14.400 litros
Bloco 4	4.200 litros

Gráfico 1

Ø            Representando a produção leiteira ao longo do ano através de uma função contínua, que descreve as variações na quantidade de leite produzida temos:

Gráfico 2

 

v     As curvas do gráfico estão representadas da seguinte forma:

-         Primeira curva: do primeiro dia de dezembro ao último dia de março.

-         Segunda curva: do primeiro dia de abril ao último dia de maio.

-         Terceira curva: do primeiro dia de junho ao último dia de setembro.

-         Quarta curva: do primeiro dia de outubro ao último dia de novembro.

Ø      Analisando cientificamente a situação expressaremos a quantidade de leite, produzida em cada bloco como sendo a área determinada por cada curva.

Ø      Trabalhando inicialmente com os blocos 1 e 2, calculamos a área através de uma integral definida, usamos uma equação de grau 4 e o seguinte ponto:  P1(180,18.600), sendo 180 o tempo em dias e 18.600 a área definida pela função, ou seja, a quantidade de leite produzida em 180 dias, onde:

Q = quantidade de leite

    t= tempo em dias

    t1= tempo inicial

    t2= tempo final

    f(t)= função que descreve a curva

  

  

(equação 1)

Ø      Através de pontos determinados na função, usando uma equação de grau 4, chegamos a outras equações, através do programa Maple.

P2(0 , 100)

(equação 2)

P3(60 , 120)

(equação 3)

P4(120 , 90)

(equação 4)

P5(180 , 100)

(equação 5)

Ø      Através das equações montamos um sistema de equações:

Ø      Resolvemos o sistema através de matriz inversa:

                                                        

Sendo A a matriz dos coeficientes das equações, B a matriz dos termos independentes e A^-1  a matriz inversa.

        

Ø      Multiplicando a matriz inversa pela matriz B obtemos a matriz X, a matriz dos coeficientes iniciais da equação integrada, ou seja, as incógnitas do sistema de equações: A, B, C, D e E.

Ø      Multiplicando a transposta da matriz X por X1 (matriz das incógnitas: t⁴, t³, t², t¹, t⁰) obtemos a função F que determina a área calculada.

Ø      Através da função F construímos o gráfico no programa Excel, usando para o eixo do tempo os valores de 10 em 10, de 0 a 180 dias.

Gráfico 3

 

Ø      Calculando a integral em cada intervalo de 30 dias obtemos a quantidade média de leite para cada mês dos blocos 1 e 2.

Tempo (dias)	Leite (litros)
0 |- 30	3.370
30 |- 60	3.652
60 |- 90	3.417
90 |- 120	2.939
120 |- 150	2.555
150 |- 180	2.667

 

Ø      Construímos o gráfico dos intervalos  de dias em função da quantidade de leite, comparando os valores da  forma experimental com os valores da integral.

OBS: Como forma de certificarmos a eficiência dos cálculos desenvolvidos no decorrer do trabalho, realizamos os mesmos passos, utilizando valores menores (sem nenhuma relação com  problema real) e, constatamos que, definindo a área que determina a curva e pontos que cruzam pela mesma chegamos a um resultado significativo, considerando os dados informados.

3 Conclusão

O trabalho a partir da criação de modelos matemáticos possibilita expressar situações concretas utilizando a linguagem matemática além de desenvolver o raciocínio lógico-matemático, a criticidade, a criatividade e a capacidade de analisar dados matemáticos.

Além disso, permite que o professor explore em sala de aula diversos conteúdos matemáticos como: áreas, perímetro, integral, sistemas de equações, funções, matrizes, entre outros, trabalhando-os de forma que o aluno perceba sua importância e aplicação na vida.

Cabe ressaltar  que o trabalho sobre a variação da produção leiteira ao longo do ano  possibilitou criarmos um modelo com enfoque para o ensino médio, visto que na maioria de nossas escolas existe dificuldade em associar os conteúdos matemáticos  do ensino médio às situações reais, fato esse que muitas vezes gera o desinteresse dos alunos pelos mesmos.

Também constatamos que o computador é uma ferramenta que muito contribui para facilitar o trabalho em matemática, pois através de programas como o Maple, resolvemos diversos problemas.

Salientamos que o modelo descrito respondeu o problema adequadamente pois conseguimos através dele mostrar a variação na produção leiteira ao longo do ano, além de constatarmos a eficiência do método da integral para o cálculo de áreas.

Enfatizamos que devido ao assunto sobre a produção leiteira ser muito amplo, existem várias possibilidades de continuidade para este trabalho, como por exemplo, o cálculo do volume de um tarro de leite.

4 Referências Bibliográficas

ALBÉ, Maristela de Quadros, GROENWALD, Cláudia Lisete Oliveira. Proposta de trabalho em modelagem e simulação matemática. In: Educação Matemática em Revista. ano 8, n.11.dez. 2001.Sociedade Brasileira de Educação Matemática.

BIANCHINI, Edwaldo, PACCOLA, Herval. Matemática. 2.ed.rev.e ampl. São Paulo: Moderna, 1995. v.2: versão beta.

BIEMBENGUT, M.S. Modelagem Matemática & Implicações no encino-aprendizagem de Matemática. Blumenau, Ed. Da FURB,1999.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações. São Paulo: Ática, 2000. Ensino Médio.2.

SCHEFF, N. e CAMPAGNOLLO, A. J. Modelagem Matemática uma alternativa para o ensino aprendizagem da matemática no meio rural. In: Zetetiké. V.6, n.10, jul/dez. Campinas, 1998.