MODELAGEM MATEMÁTICA: CALCULANDO A QUANTIDADE DE MATERIAS UTILIZADOS NA CONSTRUÇÃO DE UM MURO
Autores: ROSÂNGELA FRITZ DE ALMEIDA¹
SOLANGE PAGLIARI²
INTRODUÇÃO
Com a realização da disciplina de Modelagem Matemática que faz parte do currículo do curso de Especialização em Educação matemática, deu-se início a pesquisa de um problema de situação real, na qual podemos obter um modelo matemático.
Neste trabalho iremos pesquisar sobre a construção de um muro para cercar um terreno de 12m x 30m, obtendo modelos matemáticos que identifiquem a quantidade de materiais necessários nesta construção. Também serão analisadas a pesagem da areia e a verificação do custo total dos materiais utilizados (porcentagem).
Primeiramente realizamos uma pesquisa sobre o assunto em uma firma de Materiais de construção e uma entrevista com um engenheiro civil para obtermos dados experimentais que serão utilizados na resolução dos problemas.
Em seguida formulamos as situações problemas, classificando as informações relevantes e não-relevantes, levantamos hipóteses, identificamos constantes e variáveis envolvidas, selecionamos os símbolos e descrevemos essas relações em termos matemáticos, ou seja, obtemos o modelo matemático.
Na etapa final, após elaborado o modelo, em alguns foram realizadas as validações na prática (quantidade de tijolo por m2, pesagem da areia) e os demais modelos obtidos foram retornados a fonte de pesquisa (especialista - engenheiro civil) para verificar o grau de validade.
______________
¹ e ² “Alunas do Curso de Especialização em Educação Matemática da Unijuí”.
INTERAÇÃO
O problema a ser desenvolvido tem como base a construção de um muro para cercar um terreno de 12m x 30m, com altura de 3m, e espessura de 15 cm. A partir daí serão realizados vários cálculos (modelos matemáticos) para determinar a área de parede do muro a ser construída e a quantidade de materiais a serem utilizados nesta construção (fundação e parede).
Os materiais necessários para construção do muro são: areia, cimento, tijolo e alvenarite.
Foi realizada uma pesquisa com um engenheiro civil para obter dados que serão utilizados na resolução dos problemas.
FUNDAÇÃO
Para construirmos o muro primeiramente iremos calcular a fundação.
Sabendo que o terreno é de 12m x 30m, e que o alicerce de fundação será de 0,40cm x 0,25cm.
Problematização 1:
Quantos metros de fundação terá esse muro medindo 12m x 30m ?
Modelo Matemático:
F= 2L + 2C
Onde:
F = fundação
L= largura - 12m
C = comprimento - 30m
F = 2L + 2C
F = 2 . 12 + 2 .30
F = 24 + 60
F = 84 m
Problematização 2:
·Qual é a quantidade de tijolo maciço necessário para a fundação de 84m?
Dado fornecido por um engenheiro civil: Sabendo que para fazer uma parede de 0,25cm são necessários 150 tijolos maciços por m2.
Modelo Matemático:
T = F . h . Qt
Onde:
T = tijolo
F = fundação
h = altura
Qt= quantidade de tijolo/m2
T = F . h . Qt
T = 84 . 0,40 . 150
T = 5040 tijolos
Problematização 3:
· Qual é a quantidade de areia utilizada nesta fundação?
Dado: Sabendo que para cada 1000 tijolos maciços utiliza-se 0,80 m3 de areia.
Modelo Matemático:
A = T . Qa
Onde:
A = areia
T = tijolos utilizados
Qa = quantidade de areia/ tijolo maciço
A = T . Qa
A = 5040 . 0,80
A = 4, 03 m3
Problematização 4:
·Qual é a quantidade de cimento necessário para a fundação?
Dado: Para cada 1m3 de areia é necessário 5 sacos de cimento.
Modelo Matemático:
C = A . Qc
Onde:
C = cimento
A = areia
Qc = quantidade de cimento/m3 de areia
C = A . Qc
C = 4,03 . 5
C = 20,16 sacos de cimento
Problematização 5:
·Qual é a quantidade de alvenarite utilizada nesta fundação?
Dado: Sabendo que para cada 1m3 de areia são necessários 300ml de alvenarite.
Modelo Matemático:
Al = A . Qal
Onde:
Al = alvenarite
A = areia
Qal = quantidade de alvenarite/m3 de areia
Al = A . Qal
Al = 4,032 . 300
Al = 1,20 l
PAREDE DO MURO
Problematização 1:
·Sabendo que este terreno mede 12m x 30m, calcule qual é a área total deste terreno?
A área total do terreno pode ser definida através do modelo matemático:
A = L . C
Onde:
A = área
L = largura
C = comprimento
A = L . C
A = 12 . 30
A = 360m2
Problematização 2:
·Quantos metros linear de parede terá o muro deste terreno?
Modelo Matemático:
P = 2L + 2C
Onde:
P = parede
L = largura
C = comprimento
Sabendo que L = 12m e C = 30m
P = 2L + 2C
P = 2.12 + 2.30
P = 24 + 60
P = 84 m
Problematização 3:
·Qual é a área de parede para a construção do muro de 3m de altura?
Modelo Matemático:
Ap = P . h
Onde:
Ap = área da parede
P = parede
H = altura
Ap = P . h
Ap = 84 . 3
Ap = 252 m2
Problematização 4:
·Qual é a quantidade de tijolos maciços para construir um muro de 252 m2?
Dado: Para cada m2 construído é utilizado 75 tijolos maciços.
Modelo Matemático:
T = Ap . Qt
Onde:
T = tijolo
Ap = área de parede
Qt = quantidade de tijolo/m2
T = Ap . Qt
T = 252 . 75
T = 18.900 tijolos
Validação: Dividir a turma em 4 grupos. Cada grupo determina na parede 1m2 e vai colocando os tijolos para verificar se o dado fornecido é verdadeiro. Deve-se observar quando utilizar meio tijolo e também lembrar que os tijolos podem ser quebrados, e portanto, é acrescido sempre um pouco no valor fornecido pelo engenheiro.
Após o resultado obtido pelos grupos pode-se fazer uma média, explorando dessa forma um novo conteúdo.
Problematização 5:
·Qual é a quantidade de areia necessária para a construção deste muro de 252 m2 de parede?
Dado: Para cada 1000 tijolos maciços é necessário 0,80 m3 de areia.
Modelo Matemático:
A = T . Qa
Onde:
A = areia
T = tijolo
Qa = quantidade de areia/1000 tijolos
A = T . Qa
A = 18900 . 0,80
A = 15,12 m3
Problematização 6:
·O peso de areia comprado é o peso recebido?
Procedimento:
Verificar a pesagem de uma carreta carregada de areia, descontando a tara.
Será realizado numa balança comercial de carga pesada.
1) Pesar a carreta ou caminhão carregado de areia;
2) Descarregar a areia;
3) Pesar novamente a carreta. O valor da carreta vazia corresponde a tara.
Modelo Matemático:
PL = PB – T
Onde:
PB = peso bruto
T = tara
PL = peso líquido
Solução:
PB = 49830 Kg
T = 14830 Kg
PL = ?
PL = PB – T
PL = 49830 – 14830
PL = 35000 Kg ou 25 m3 de areia
Comentários:
Com essa pesagem fica a certeza de que a areia recebida é a mesma da areia comprada.
Para cada carreta e/ou caminhão a ser pesado, o peso da areia irá variar.
Problematização 7:
·Qual é quantidade de cimento necessário para a construção deste muro de 252 m2 de parede?
Dado: Para cada 1m3 de areia é necessário 5 sacos de cimento.
Modelo Matemático:
C = A . Qc
Onde:
C = cimento
A = areia
Qc = quantidade de cimento/ m3 de areia
C = A . Qc
C = 15,12 . 5
C = 75,6 sacos de cimento
Problematização 8:
·Qual é a quantidade alvenarite para a construção deste muro?
Dado: Para cada 1m3 de areia é necessário 300 ml de alvenarite.
Modelo Matemático:
Al = A . Qal
Onde:
Al = alvenarite
A = areia
Qal = quantidade de alvenarite/m3 de areia
Al = A . Qal
Al = 15,12 . 300
Al = 4536 ( ÷1000 )
Al = 4,53 litros
SÍNTESE DOS RESULTADOS ENCONTRADOS
Tabela 1: TOTAL DE MATERIAIS UTILIZADOS NA CONSTRUÇÃO DESTE MURO
AREIA (m3) CIMENTO (s) TIJOLO MACIÇO (quant) ALVENARITE
FUNDAÇÃO 4,03 20,16 5040 1,2
PAREDE 15,12 75,6 18900 4,53
TOTAL 19,15 95,76 23940 5,73
Tabela 2: TOTAL DE CUSTO DOS MATERIAIS
MATERIAL UNIDADE VALOR UNITÁRIO R$ %
AREIA m3 R$ 50,00 R$ 957,50 13,31%
CIMENTO sacos R$ 20,00 R$ 1.915,20 26,62%
TIJOLO MACIÇO milhero R$ 180,00 R$ 4.309,20 59,91%
ALVENARITE litro R$ 2,00 R$ 11,46 0,16%
TOTAL R$ 7.193,36 100,00%
Figura 1: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Tabela 3: TOTAL DE CUSTO (Fundação e Parede)
CONSTRUÇÃO R$ %
FUNDAÇÃO R$ 1.514,30 21,05%
PAREDE R$ 5.679,06 78,95%
TOTAL R$ 7.193,36 100,00%
Figura 2: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como podemos perceber a Modelagem Matemática é uma estratégia no processo ensino-aprendizagem na qual a Matemática trabalhada com os alunos parte de seus próprios interesses, e o conteúdo desenvolvido tem origem no tema a ser problematizado, nas dificuldades do dia-a-dia, nas situações da vida.
A Modelagem valoriza o aluno no contexto social em que o mesmo está inserido, proporcionando-lhe condições para ser uma pessoa crítica, criativa e capaz de superar suas dificuldades.
Através da realização deste trabalho, adquirimos novos conhecimentos. Realizamos pesquisa sobre o tema proposto, coletando dados e observando situações práticas que envolviam o processo de construção de um muro.
Formulamos e resolvemos os modelos matemáticos a partir das problematizações que havíamos estabelecido. Após foi realizado o processo de validação. Em algumas problematizações foram realizadas as validações na prática e as demais foram analisadas pelo especialista ( engenheiro civil ) que forneceu os dados para verificar o grau de validade, sendo que os modelos desenvolvidos encontram-se precisos . Vale ressaltar que na construção civil os valores são acrescidos devido as perdas, desperdício,... Os dados fornecidos nos modelos matemáticos já possuem este acréscimo.
Acreditamos que através da Modelagem Matemática podemos mostrar aos nossos alunos que a Matemática está presente em diferentes situações reais, e que estas situações podem ser transformadas em problemas e solucionados através da Matemática.
Na resolução dos modelos que poderão surgir nas aulas o professor poderá desenvolver diferentes conteúdos matemáticos.
Acreditamos que a Modelagem Matemática é uma estratégia prazerosa para aprendermos matemática e conseqüentemente construirmos conhecimentos matemáticos.
BIBLIOGRAFIA
BARBOSA, J. C. O Que Pensam os Professores sobre a Modelagem Matemática. In: Zetetiké. v. 7, n.11, jan/jun. Campinas, 1999.
BEAN, Dale. O Que é Modelagem Matemática? In: Educação Matemática em revista. Ano 8, n. 9/10. São Paulo: Abril, 2001.
BIEMBENGUI, M. S. Modelagem Matemática & Implicações no Ensino-aprendizagem de Matemática. Blumenau: Ed. da FURB, 1999.
SCHEFFER, N. e CAMPAGNOLLO, A. J. Modelagem Matemática uma Alternativa para o Ensino-aprendizagem da Matemática no Meio Rural. In: Zetetiké, v. 6, n. 10, jul/dez. Campinas, 1998.