UNIJUÍ - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
DeFEM – Departamento de Física, Estatística e Matemática
Licenciatura Plena em Matemática
Modelagem Matemática II - Professor: Pedro Augusto Pereira Borges

O VOLUME DE UM VIDRO DE CONSERVA

Graciele Rempel, Luzimara Ferrari, Marlova Tondelo

Ijui, julho de 2003

1. INTRODUÇÃO

Levando em consideração de que a matemática deve ser ensinada envolvendo a realidade dos alunos e despertando neles uma curiosidade critica sobre tudo o que os cercam, o presente trabalho será uma continuação do assunto abordado na disciplina de Modelagem Matemática I, onde agora, em vez de calcularmos o custo da fabricação caseira de conservas de pepinos em diferentes situações e compararmos com o preço de uma conserva comprada no mercado, calcularemos o volume que cabe dentro de um vidro de conserva.

Para respondermos essa questão faremos quatro formas diferentes de cálculos, sendo que a primeira maneira de sabermos o volume será s experimental, na segunda consideraremos o vidro como um cilindro, depois como cilindro e tronco de cone e por fim o vidro será considerado como um cilindro, mas com o volume da parte superior calculada por integrais.

Para conseguirmos fazer todos os cálculos, usaremos as fórmulas de volume do cilindro e do tronco de cone, a localização de pontos nos eixos coordenados, sistemas lineares e operações com matrizes, assuntos estes estudados no ensino médio.

Após isso, faremos uma análise dos resultados em uma tabela e calcularemos o percentual de erro das medidas em relação a medida experimental, que condiz mais com o real volume de um vidro de conserva.

2. O VOLUME DE UM VIDRO DE CONSERVA

Para respondermos nossa questão, calcularemos de quatro diferentes formas o volume do vidro.

Primeiramente medimos o volume que cabe dentro do vidro com uma proveta, repetindo o experimento cinco vezes, e obtivemos os seguintes resultados:

Experimento

ml

1o

540

2o

544

3o

547

4o

542

5o

543

Após, somamos e dividimos pelo número de experimentos, obtendo uma média de 543,2ml ou 543,2cm3. Em seguida, levantamos a hipótese de que o volume poderia ser calculado como se o vidro fosse um cilindro, tirando suas medidas (raio e altura) com régua e barbante. Sendo assim, encontramos r=3,9cm, h=11,5cm e espessura=0,3cm.

Utilizamos a fórmula do volume do cilindro V=p. r².h,  resultando num volume de 549,5cm3 ou 549,5ml.

Partindo para o terceiro passo, consideramos o recipiente como um cilindro, porém a parte superior como um tronco de cone. Por isso, tínhamos duas medidas de alturas, três medidas de raios e dois cálculos de volume, que apresentaremos a seguir. Depois, bastou somar os dois volumes para encontrarmos o volume total. Veja os cálculos e medidas:

Volume do cilindro (V1)

Volume do tronco de cone (V2)

,
        onde r1=3,9cm, r2=2,95cm e h=2,1cm

V2= 74,36cm3

Volume do vidro de conserva (VT)

VT = V1 + V2

VT = 449,16cm3 + 74,36cm3

VT = 523,52cm3

A última forma de calcularmos foi semelhante à forma anterior, porém, em vez de obtermos o volume da parte superior pela formula do tronco de cone, calculamos através de integrais.

Para tanto, localizamos pontos nos eixos coordenados e encontramos a função que precisávamos co cálculo da integral através da resolução de sistemas por meio de matrizes.

Com a ajuda do computador para resolvemos a integral, encontramos o volume de 91,98cm3, que somamos com o volume da parte inferior, calculada anteriormente, achando um volume total de 541,14cm3 ou 541,14ml.

3. ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS

A partir de quatro métodos calculados, montamos a seguinte tabela, onde apresentaremos também o percentual de erro dos cálculos em relação a medida experimental.

Método

Volume (ml)

Percentual de erro

1

543,2

0%

2

549,5

1,15%

3

523,52

3,62%

4

541,14

0,3%

Analisando os resultados, verificamos que o cálculo do volume que melhor condiz com o experimento foi o método que usou a integral. Isso mostra sua aplicabilidade nas diversas situações do cotidiano.

Observamos que o terceiro método apresentou o menor volume, pois consideramos aparte superior como um tronco de cone reto, deixando fora o volume da parte curva do vidro.

Verifica-se também que o volume do segundo método é maior que os demais, e isso pode der explicado pelo fato que o vidro foi considerado como um cilindro reto, de cima ate embaixo, desconsiderando as curvas nele existentes.

Dessa forma, todos os resultados condizem com suas medidas e suas adequações.

4. CONCLUSÃO

Ao término deste artigo, concluímos que ele foi de grande valia para a nossa formação como educadores de matemática, pois com ele retomamos conteúdos já estudados e os aplicamos em uma situação real que pode ser tranqüilamente utilizada em sala de aula com alunos do ensino médio.

Para conseguirmos responder a nossa questão, enfrentamos muitas dificuldades, desde a medição com régua e barbante até a obtenção dos pontos coordenados para o cálculo da integral. É muito difícil encontrarmos o valor exato das medidas, pois a régua não é o melhor instrumento de medida a ser visualizada e o recipiente é desigual na sua forma.

Por isso, tivemos que medir várias vezes e repetir inúmeros cálculos até chegarmos em valores aproximados ao experimento.

Temos que levar em consideração que os cálculos podem ser melhorados e calculados com outros vidros de conserva, pois o presente trabalho foi realizado com apenas um tipo de vidro de conserva.

Enfim, o trabalho foi compensador, pois com ele percebemos a importância de contextualizar a matemática desenvolvida em sala de aula com situações simples do cotidiano, despertando a atenção do aluno.

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Fundamental. 2º grau: volume único. São Paulo: FTD, 1994.