Calcular o volume do sólido que se obtém por rotação da figura dada em torno do eixo
indicado.
Exemplo de problema : 1) : y = 1 - 2x, x = 0, eixo x, em volta do eixo x e x ³
<0 Resposta: π/6 uv.
>f:=x->1-2*x ;
>a:=0: b:=solve( 0=f(x) ,x); # ver
qual o valor de bx , ou calcula-lo !
>with(plots); implicitplot( { y=f(x), x=a, x=b}, x=a..b
,y=f(b).. f(a) );
>volume:=Pi*Int(f(x) ^2, x=a..b) = Pi*int(f(x) ^2, x=a..b);
># implicitplot3d( z^2+y^2= f(x) ^2, z= -f(a)..f(a), x=a..b,
y=-f(a).. f(a) );
Exemplo de problema : 2) y : = 1 - 2x, x = 0, eixo x, em volta do eixo y e x ³ 0: R = π/12.
>f:=x->1-2*x: ax:=0: bx:=solve( f(x)=0 ,x); ;
>with(plots); implicitplot( {y=f(x) ,x=ax }, x=ax..bx, y=f(bx)..f(ax));
>solve(y=f(x) ,x); fy:= ( -1/2)*y+1/2 ;
># x em funç de y, ver a função que sai para colocar nas próximas linhas
>a:= f(bx); b:=f(ax); # limites em y
>volume:=Pi*Int( (fy )^2, y=a..b) =Pi*int( ( fy)^2, y=a..b);
># implicitplot({x=fy, x=ax, x=bx}, y=a..b,x=ax..bx);
>#### FIM
>#### ou #######
>f:=x->1-2*x: a:=0: b:=solve( f(x)=0 ,x); # se não for dado b
>with(plots); implicitplot( { y=f(x), x=a, x=b }, x=a..b , y=f(b)..f(a) );
>V:=2*Pi*Int(x*f(x), x= a..b)= 2*Pi*int(x*f(x), x= a..b);
>solve(y=f(x) ,x); fy:= ( -1/2)*y+1/2 ; # para visualizar o sólido
># implicitplot3d( z^2+x^2=fy^2, z= -b..b, x= -b..b, y=f(b)..f(a) );
Exemplo de problema 3) y = 3x - x2, x = 0, x = 1, eixo x, em volta do eixo x: Resposta:17 π/10 u v .
>f:=x->3*x-x^2 ;
>a:=0: b:=1: # ver qual o valor de bx ;
>with(plots); implicitplot( {y=f(x), x=0,x=1 }, x=a..b, y= - f(b )..f(b) );
>volume:=Pi*Int(f(x) ^2, x=a..b) = Pi*int(f(x) ^2, x=a..b);
># implicitplot3d( z^2+y^2= f(x) ^2, z= -f(2)..f(2), x=a..b, y=-f(2).. f(2) );
Exemplo de problema 4) y = 3x - x2, x = 0, x = 1, eixo x, em volta do eixo y: R =3 π/2 u v.
>f:=x->3*x-x^2; ax:=0; bx:=1;
>with(plots); implicitplot( {y=f(x), x=ax, x=bx }, x=ax..4*bx, y=f(ax)..f(4*bx) );
>fy:=solve(y=f(x) ,x);
># ver as funções que saem e escolher a que vai nas 3 últimas linhas
>fy:=3/2-(1/2)*(9-4*y)^(1/2);
>a:= f(ax); b:=f(bx); # limites em y
>mplicitplot( { x=fy, y=a ,y=b }, y=a..b , x= ax.. bx);;
>volume:=Pi*Int( 1^2 - fy^2, y=a..b) = Pi*int(1- fy^2, y=a..b);
>v:=2*Pi*Int(x*f(x), x=ax..bx) =2*Pi*int(x*f(x), x=ax..bx);# outro cálculo :
># implicitplot3d( { z^2+x^2=fy^2, x^2+z^2=bx^2 },z= -b..b, x=-b..b, y=a ..b);
>## outra visualização
># g1:=implicitplot3d({z^2+x^2=fy^2},z=-b..b,x=-b..b,y=a..b,color=red,grid=
[30,30,30]);
># g2:=implicitplot3d( { x^2+z^2=bx^2 },z= -b..b, x=-b..b, y=a ..b,color=grey);
># display3d({g1,g2});
Resolva os exercício conforme os exemplos acima
1) y = 2x3, y = 0 e y = 2, eixo y, em volta do eixo x: R = 24 π/7 uv .
2) y = 2x3, y = 0 e y = 2, eixo y, em volta do eixo y: R = 6 π/5 u v.
3) y = (x + 1)1/3, x = 0 x = 7, eixo x em volta do eixo x: R=58,43u v .
4) y = 2ex, x = 0 x =1, eixo x em volta do eixo x: R =
5) y = 2ex, x = 0 x =1, eixo x em volta do eixo y: R =
6) y = , y = 0 y = 1, eixo y em volta do eixo x: R =
7) y = , y = 0 y = 1, eixo y em volta do eixo y: R =
8) y2 = x3/4, x = 0 x = 1, eixo x em torno do eixo y: R =
9) y = x3, x = 0 x = 1, eixo x em torno do eixo x: R =
10) y = x2 para x ³ 0, y = 4, eixo y em torno de 0y: R =